【孙宇晨】一文了解零知识证明算法Bulletproofs :Improved Range Proof
本文作者江小白,来自安比技术社区的小伙伴,本系列文章将对 Bulletproof 算法在 Range Proof 和 general arithmetic circuits 上的应用展开介绍。
前言
在本系列的第一篇文章中,我们介绍了Bulletproofs 在 Range proof 上的应用,当 prover 想要证明 v 值在范围[0, 2n-1]内时,他需要发送 2n+7 个元素。然而,这种O(n)级的CC并不是我们想要的,希望能寻找一种方法可以把CC降低到O(log(n)级。本篇我们就主要介绍这个优化过程。主要分为两部分:
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以简单的场景去阐述这个优化过程
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把第一篇的Range proof结果嵌入到优化过程
注:第一篇文章由于格式的原因,公式显示会有误差,向量的特殊标记也没有显示出来,因此本篇将以图片的形式展示整个过程;另外,本文最后也附上了第一篇文章的图,帮助大家理解^_^
Improved Range proof
01
A simple example
1. 预备知识
aL:表示向量
2n:表示向量
<a,b>:表示向量内积,结果是一个值
a ○ b :向量对应位相乘,,结果是一个向量
2. 一个简单的场景
Alice 想要证明向量 {a,b} 满足:
Relation:
一个简单的证明过程就是:
prover 把 {a,b},c, P 发送给 verifier;
verifier 验证 R:成立。
可以看出,交互复杂度是O(n),接下来目标是将复杂度优化到O(log(n))
3. 复杂度优化到O(log(n))
=> 首先把 c 整合到 P 上,即 R 修改为如下形式:
Relation:
,
此时,交互复杂度为没有变,只是两步验证化成单步验证,为后续的优化做铺垫。
=>定义一个函数映射H,
其中,
注意函数 H 具有加法同态属性,即:
因此,P 可以写成
Proof:
接下来,让我们看一组交互变换的过程:
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prover 以以下的方式分别计算L,R:
recall
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prover 发送L,R,P给 verifier
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verifier 发送一个随机数 x 给 prover
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prover 计算,
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并且发送 a',b' 给 verifier
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verifier 利用接收到的计算
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校验
Proof
复杂度优化到 O(log(n))
=> 经过上一步骤:Prover 和 verifier 的交互复杂度已经由 2n+4 (P,μ,a,b)降低到了 n+4(P,μ,L,R,a',b'),离我们的目标 O(log(n)) 还差了那么点意思,该如何做呢?
让我们先回顾上述过程:
优化前:prover 证明有向量 a,b 满足
优化后:证明问题变成 prover 有向量 a',b' 满足关系(注:此时向量的长度已经减半 n'=n/2)
令:
则 R' 转化成:
用 R' 迭代使用上述优化过程,最终 prover 发送给 verifier 的信息如下:
总共 2log(n)+2+2=2log(n)+4 个元素。Oh,yeah!!!
下图是一张基于上述过程的交互协议
有几点需要说明:
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图的右半部分分为两个部分
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黄色部分为文章前面部分讲述的过程。这又分为三个部分:
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初始化:省略了P的计算和交互的过程,我们假定开始此证明协议前,验证者已经有了一些基本的信息。这并不严谨,仅仅是为了清晰的表示后面的交互过程
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LOOP:一个不断迭代的过程,每次迭代,会:
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产生一对(Li, Ri),
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所有向量长度减半
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Verifier计算Pi' /gi' /hi
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End:最后一步,向量 a, b 已减半成常量 a,
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绿色部分为黄色部分的进一步优化,优化思想主要是多次幂乘操作缩减成单词幂乘操作,具体的是:
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上述LOOP中的第3步,延迟到最后一部一次性计算
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02
A real Range proof
回顾第一篇文章,我们知道,当我们要证明v属于[0, 2n-1]时,验证者最终要验证:
对关系式做个变换:
因此,prover是要证明有向量 l, r 满足关系:
Relation :
基于此关系,使用上述协议,就可以使 range proof 的交互复杂度降低到对数级。现在,是不是找到点内味了?^_^
总结
本篇文章主要讲到了,BulletProof 是如何把 Range proof 的CC降低到O(log(n)),并且介绍了更近一步的优化。结合第一篇文章,相信你已经对基于 Bulletproofs 的 Range proof 原理有了整体的了解,在本系列的第三篇文章中,将给大家分享 Range proof 的工程上实现细节。
附录
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Bulletproofs 论文:https://eprint.iacr.org/2017/1066.pdf
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附一张图,方便大家理解第一篇文章
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