本文作者江小白，来自安比技术社区的小伙伴，本系列文章将对 Bulletproof 算法在 Range Proof 和 general arithmetic circuits 上的应用展开介绍。

前言

Bulletproofs，又一个有意思的零知识证明算法，相信读者已经很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信设置；和zk-stark算法相比，它具有较小的proof size。根据论文，它有两个方面的应用：1. 用于 range proof；2. 用于一般算术电路的零知识证明。下面，让我们先看一下Bulletproofs是如何高效的实现第一点。

Range Proof

1

预备知识

a_L：表示向量{a₁, a₂?……a_n}

2n：表示向量{2₀,2₁…2_n-1}

<a, b>：表示向量内积 ∑ a_{i &middot;?}b_i，结果是一个值

a o b：向量对应位相乘，{a_1·?b₁……a_{n ·?}b_n}，结果是一个向量

2

证明

Alice想要证明

v ∈?[0, 2n-1]

=>则，需要证明一个relation得成立，如下所示：

public-x witness-w relation-R

即，对于公开信息x，Alice有隐私信息w，使得关系R成立。

令 a_L?为金额 v 的在范围 [0, 2n-1] 内的二进制形式，则a_L?= {a₁,a₂……a_n}∈?{0,1}ⁿ，且满足<a_L, 2ⁿ> = v。因此，证明者需要证明以下几个等式相等：

等式(1)确保了承诺V和金额v的绑定关系，等式(2)确保了v的范围，等式(3)(4)确保了 a_L?元素只属于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)总共包含了2n+1个约束，其中公式(2)1个，公式(3)(4)各n个。接下来，为了效率，我们需要把2n+1个约束转换成1个约束。

3

2n+1?个约束转换成 1 个约束

=>预备：从Z_p中任意选择一个数y，则b = 0ⁿ是等式<b, yⁿ> = 0成立的充分条件；因为当b != 0ⁿ，等式成立的概率仅有n/p，p是有限域，远大于n。（理解：如果b != 0ⁿ?，把等式看作求n阶一次多项式的零点即可）因此，如果有<b, yⁿ> = 0，那么验证者愿意相信b != 0ⁿ?。

利用这个理论，我们把等式(2)/(3)/(4)做以下转换：

1. 验证者随机选取一个数y发送给证明者；

2. 证明者要证明：

同理，等式(5)确保了v的范围，等式(6)(7)确保了a_L元素只属于{0,1}。此时2n+1个约束转换成3个约束，接下来，还需要做进一步的处理：

1. 验证者随机选取一个数z发送给证明者：

2. 证明者利用z对公式(5)(6)(7)进行线性组合，得到如下公式：

至此，我们已经把2n+1个约束转换成1个约束。下面我们对公式(8)做进一步的优化，把三个点积优化成1个点积。

4

三个点积优化成 1 个点积

=> 令

5

验证

1. 证明者把L/R/V发送给验证者；

2. 验证者事先算好 δ

3. 验证者根据L算出来a_L，根据<a_L, 2ⁿ> = v 算出 v

4. 验证者根据L,R,v,δ验证等式<L, R> = z²?·?v +δ因为y，z都是验证者提供，因此如果验证者如果能验证公式(9)成立，则相信等式(5)(6)(7)成立，则相信等式(2)(3)(4)成立，则相信v满足关系v?∈? [0, 2ⁿ-1]。

但是，可以看到上述过程，泄露了v的信息，因此需要一个零知识证明协议。

6

一个零知识证明协议

由于L,R包含了v的相关信息，因此，我们需要添加两个盲因子s_Ls_R来隐藏a_L，a_R。如公式(10)(11)所示：

此时，定义公式(12)

可以看出系数 t₀?是 l(x) 和 r(x) 常数项的乘积，即满足：

因此，问题由证明：

转化成了，在任意一点x，验证者验证多项式值l(x), r(x), t(x)满足关系：

<l(x), r(x)> = t(x)

多项式值l(x), r(x), t(x)由证明者提供，为了保证l(x)，r(x) well-formed，即：

需要校验：

??????

为了保证t(x) well-fromed，即：

t = t₀?+t₁x + t₂x²

需要校验：

?&&?

=>?当且仅当t和 τ_x?welle-formed，等式成立

具体的协议流程图如下图所示：

总结

从上述流程可以看出，一次range proof，证明者需要发送总共{?l / r / t?_x/μ/ T₁?/ T₂/ A / S}??个元素给验证者，总共2n+3个Z_p元素，4个G元素。下一篇文章将细讲，Bulletproofs如何将交互复杂度降低到对数级O(log(n))

附录

1. Bulletproofs 论文：https://eprint.iacr.org/2017/1066.pdf